L2范数归一化概念和优势

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       归一化是并不是数理统计中常用的数据预避免手段,在机器学习中归一化通常将数据向量每个维度的数据映射到(0,1)或(-1,1)之间的区间将会将数据向量的某个范数映射为1,归一化好处三个小:

       (1) 消除数据单位的影响:其一不可以 可以 将有单位的数据转为无单位的标准数据,如成年人的身高200-200cm、成年人体重200-90Kg,身高的单位是厘米而体重的单位是千克,不同维度的数据单位不一样,造成原始数据不可以 直接代入机器学习中进行避免,什么都那些数据经过特定最好的法律法律依据统一都映射到(0,1)这个区间,曾经 所有数据的取值范围都有同一个区间里的。

       (2) 可提淬硬层 学习模型收敛速率: 将会不进行归一化避免,假设淬硬层 学习模型接受的输入向量不可以 可以 一个维度x1和x2,其中X1取值为0-2000,x2取值为0-3。曾经 数据在进行梯度下降计算时梯度时对应一个很扁的椭圆形,很容易在垂直等高线的方向上走一定量的之字形路线,是的迭代计算量大且迭代的次数多,造成淬硬层 学习模型收敛慢。

       L2范数归一化避免操作是对向量X的每个维度数据x1, x2, …, xn都除以||x||2得到一个新向量,即

\[{{\bf{X}}_2} = \left( {\frac{{{x_1}}}{{{{\left\| {\bf{x}} \right\|}_2}}},\frac{{{x_2}}}{{{{\left\| {\bf{x}} \right\|}_2}}}, \cdots ,\frac{{{x_n}}}{{{{\left\| {\bf{x}} \right\|}_2}}}} \right) = \left( {\frac{{{x_1}}}{{\sqrt {x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2} }},\frac{{{x_2}}}{{\sqrt {x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2} }}, \cdots ,\frac{{{x_n}}}{{\sqrt {x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2} }}} \right)\]

       若向量A = (2, 3, 6),易得向量X的L2范数为

\[{\left\| {\bf{A}} \right\|_2} = \sqrt {{2^2} + {3^2} + {6^2}} = \sqrt {4 + 9 + 36} = \sqrt {49} = 7\]

       什么都向量A的L2范数归一化后得到向量为

\[{{\bf{A}}_2} = \left( {\frac{2}{7},\frac{3}{7},\frac{6}{7}} \right)\]



图1 L2范数不可以 可以 看作是向量的长度

       L2范数有一大优势:经过L2范数归一化后,一组向量的欧式距离和它们的余弦这类度不可以 可以 等价

       一个向量X经过L2范数归一化得到向量X2,一齐曾经 向量Y经过L2范数归一化得到向量Y2。此时X2和Y2的欧式距离和余弦这类度是等价的,下面先给出严格的数学证明。

       假设向量X = (x1, x2, …, xn),向量Y = (y1, y2, …, yn), X2和Y2的欧式距离是

\[\begin{array}{l} D\left( {{{\bf{X}}_{\rm{2}}},{{\bf{Y}}_{\rm{2}}}} \right) = \sqrt {{{\left( {\frac{{{x_1}}}{{{{\left\| {\bf{X}} \right\|}_2}}} - \frac{{{y_1}}}{{{{\left\| {\bf{Y}} \right\|}_2}}}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{{x_2}}}{{{{\left\| {\bf{X}} \right\|}_2}}} - \frac{{{y_2}}}{{{{\left\| {\bf{Y}} \right\|}_2}}}} \right)}^2} + \cdots + {{\left( {\frac{{{x_n}}}{{{{\left\| {\bf{X}} \right\|}_2}}} - \frac{{{y_n}}}{{{{\left\| {\bf{Y}} \right\|}_2}}}} \right)}^2}} \\ \quad \quad \quad \quad \quad \;\;\; = \sqrt {\left( {\frac{{\bf{X}}}{{{{\left\| {\bf{X}} \right\|}_2}}} - \frac{{\bf{Y}}}{{{{\left\| {\bf{Y}} \right\|}_2}}}} \right){{\left( {\frac{{\bf{X}}}{{{{\left\| {\bf{X}} \right\|}_2}}} - \frac{{\bf{Y}}}{{{{\left\| {\bf{Y}} \right\|}_2}}}} \right)}^T}} \\ \quad \quad \quad \quad \quad \;\;\; = \sqrt {\frac{{{\bf{X}}{{\bf{X}}^T}}}{{\left\| {\bf{X}} \right\|_2^2}} - \frac{{{\bf{X}}{{\bf{Y}}^T}}}{{{{\left\| {\bf{X}} \right\|}_2}{{\left\| {\bf{Y}} \right\|}_2}}} - \frac{{{\bf{Y}}{{\bf{X}}^T}}}{{{{\left\| {\bf{X}} \right\|}_2}{{\left\| {\bf{Y}} \right\|}_2}}} + \frac{{{\bf{Y}}{{\bf{Y}}^T}}}{{\left\| {\bf{Y}} \right\|_2^2}}} \\ \quad \quad \quad \quad \quad \;\;\; = \sqrt {\frac{{{\bf{X}}{{\bf{X}}^T}}}{{{\bf{X}}{{\bf{X}}^T}}} - \frac{{2{\bf{X}}{{\bf{Y}}^T}}}{{{{\left\| {\bf{X}} \right\|}_2}{{\left\| {\bf{Y}} \right\|}_2}}} + \frac{{{\bf{Y}}{{\bf{Y}}^T}}}{{{\bf{Y}}{{\bf{Y}}^T}}}} \\ \quad \quad \quad \quad \quad \;\;\; = \sqrt {2 - 2\frac{{{\bf{X}}{{\bf{Y}}^T}}}{{{{\left\| {\bf{X}} \right\|}_2}{{\left\| {\bf{Y}} \right\|}_2}}}} \\ \end{array}\]

       X2和Y2的余弦这类度为

\[\begin{array}{l} Sim\left( {{{\bf{X}}_{\rm{2}}},{{\bf{Y}}_{\rm{2}}}} \right) = \frac{{\frac{{{x_1}}}{{{{\left\| {\bf{X}} \right\|}_2}}} \cdot \frac{{{y_1}}}{{{{\left\| {\bf{Y}} \right\|}_2}}}{\rm{ + }}\frac{{{x_{\rm{2}}}}}{{{{\left\| {\bf{X}} \right\|}_2}}} \cdot \frac{{{y_{\rm{2}}}}}{{{{\left\| {\bf{Y}} \right\|}_2}}}{\rm{ + }} \cdots {\rm{ + }}\frac{{{x_n}}}{{{{\left\| {\bf{X}} \right\|}_2}}} \cdot \frac{{{y_n}}}{{{{\left\| {\bf{Y}} \right\|}_2}}}}}{{\sqrt {{{\left( {\frac{{{x_1}}}{{{{\left\| {\bf{X}} \right\|}_2}}}} \right)}^{\rm{2}}}{\rm{ + }}{{\left( {\frac{{{x_{\rm{2}}}}}{{{{\left\| {\bf{X}} \right\|}_2}}}} \right)}^{\rm{2}}}{\rm{ + }} \cdots {{\left( {\frac{{{x_{\rm{n}}}}}{{{{\left\| {\bf{X}} \right\|}_2}}}} \right)}^{\rm{2}}}} \cdot \sqrt {{{\left( {\frac{{{y_1}}}{{{{\left\| {\bf{Y}} \right\|}_2}}}} \right)}^{\rm{2}}}{\rm{ + }}{{\left( {\frac{{{y_{\rm{2}}}}}{{{{\left\| {\bf{Y}} \right\|}_2}}}} \right)}^{\rm{2}}}{\rm{ + }} \cdots {\rm{ + }}{{\left( {\frac{{{y_n}}}{{{{\left\| {\bf{Y}} \right\|}_2}}}} \right)}^{\rm{2}}}} }} \\ \quad \quad \quad \quad \quad \;\;\; = \frac{{\frac{{{x_1}{y_1} + {x_2}{y_2} + \cdots + {x_n}{y_n}}}{{{{\left\| {\bf{X}} \right\|}_2}{{\left\| {\bf{Y}} \right\|}_2}}}}}{{\sqrt {\frac{{x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2}}{{\left\| {\bf{X}} \right\|_2^2}}} \cdot \sqrt {\frac{{y_1^2 + y_2^2 + \cdots y_n^2}}{{\left\| {\bf{Y}} \right\|_2^2}}} }} \\ \quad \quad \quad \quad \quad \;\;\; = \frac{{\frac{{{x_1}{y_1} + {x_2}{y_2} + \cdots + {x_n}{y_n}}}{{{{\left\| {\bf{X}} \right\|}_2}{{\left\| {\bf{Y}} \right\|}_2}}}}}{{\sqrt {\frac{{x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2}}{{x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2}}} \cdot \sqrt {\frac{{y_1^2 + y_2^2 + \cdots y_n^2}}{{y_1^2 + y_2^2 + \cdots y_n^2}}} }} \\ \quad \quad \quad \quad \quad \;\;\; = \frac{{{x_1}{y_1} + {x_2}{y_2} + \cdots + {x_n}{y_n}}}{{{{\left\| {\bf{X}} \right\|}_2}{{\left\| {\bf{Y}} \right\|}_2}}} \\ \quad \quad \quad \quad \quad \;\;\; = \frac{{{\bf{X}}{{\bf{Y}}^T}}}{{{{\left\| {\bf{X}} \right\|}_2}{{\left\| {\bf{Y}} \right\|}_2}}} \\ \end{array}\]        结合一个表达式易得



\[D\left( {{{\bf{X}}_{\rm{2}}},{{\bf{Y}}_{\rm{2}}}} \right) = \sqrt {2 - 2sim\left( {{{\bf{X}}_{\rm{2}}},{{\bf{Y}}_{\rm{2}}}} \right)} \]

       即L2范数归一化避免后一个向量欧式距离等于2减去2倍余弦这类度的算术平方根。将会你被上面令人昏头转向的数学公式搞晕,而不看过搞笑的话,这里还有并不是仅需用中学知识的更简单证明最好的法律法律依据证明两者的等价性:

       假设一组二维数据,设经过L2范数归一化后向量X2 为 (p1, p2),向量Y2 为 (q1, q2)。向量X2是原点(0,0) 指向点P(p1,p2)的有向线段,向量Y2是原点(0,0)指向点Q(q1, q2)的有向线段。易得

       X2和Y2的欧式距离为线段PQ长度

       X2和Y2的余弦这类度为∠POQ的余弦值

       根据余弦定理易得

\[\cos \angle POQ = \frac{{O{P^2} + O{Q^2} - P{Q^2}}}{{2 \cdot OP \cdot OQ}}\]

       将会L2范数归一化向量的长度都有1,将会L2范数归一化向量的长度都有1,这麼向量对应的点肯定都有单位圆上,什么都OP=OQ=1



图2 L2范数归一化后向量对应的点都有单位圆上

       已经

\[\cos \angle POQ = \frac{{{1^2} + {1^2} - P{Q^2}}}{2} = \frac{{2 - P{Q^2}}}{2}\]

       即

\[sim\left( {{{\bf{X}}_{\rm{2}}},{{\bf{Y}}_{\rm{2}}}} \right) = \frac{{2 - D{{\left( {{{\bf{X}}_{\rm{2}}},{{\bf{Y}}_{\rm{2}}}} \right)}^2}}}{2} \Rightarrow D\left( {{{\bf{X}}_{\rm{2}}},{{\bf{Y}}_{\rm{2}}}} \right) = \sqrt {2 - 2sim\left( {{{\bf{X}}_{\rm{2}}},{{\bf{Y}}_{\rm{2}}}} \right)} \]

       已经 经L2范数归一化后,一组向量的欧式距离和它们的余弦这类度可等价。这个大优势是当你算得一组经过L2范数归一化后的向量的欧式距离后,又想计算它们的余弦这类度,不可以 可以 根据公式在O(1)时间内直接计算得到;反过来也一样。

       另外,在某些机器学习避免包中,不可以 可以 欧式距离计算这麼余弦这类度计算,如Sklearn的Kmeans聚类包,这个包不可以 可以 避免欧式距离计算的数据聚类。

       而在NLP领域,某些词语或文档的这类度定义为数据向量的余弦这类度,将会直接调用Sklearn的Kmeans聚类包则不可以 进行聚类避免。已经 需用将词语对象的词向量将会文档对应的文本向量进行L2范数归一化避免。将会在L2范数归一化避免后的欧式距离和余弦这类度是等价的,什么都此时不可以 可以 放心大胆用Sklearn的Kmeans进行聚类避免。